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一、证明题

1． 证明定理得

【答案】 （1）先证定理 （连续性）若函数项级数都连续, 则其和函数在[a, b]上也连续.

设则

因为有

且

又由使得当

从而上连续.

（1

）下面证定理（逐项求导）若函数项级数数

,

为

的收敛点, 且

在[a, b]上每一项都有连续的导函

在[a, b]上一致收敛, 则

不妨设级数性可知,

在[a, b]

上一致收敛于

由

对

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在区间[a, b]上一致收敛, 且每一项

为[a, b]上的任意一点, 为级数的部分和函数列,

, 故对任意在[a, b]上一致收敛于S （x ）存在N , 使得当n>N时, 对一切

连续可得

,

且

时, 有

在[a, b]上连续, 故对上述的

. 存在

,

所以的和函数S （x ）在处连续. 由的任意性, S （x ）在[a, b]

连续及的一致收敛

在[a, b]上连续. 又由定理得, 对任意

两边求导, 得, 即

2． 求证:在上一致收敛. , 可得

【答案】方法一:由

又方法二:记情形

.

收敛, 由M 判别法即得原级数在

, 先求函数

上一致收敛.

的

的最大值, 由于知u n （x ）为奇函数, 只需讨论

又

, 故

是函数

的最大值点. 因此

二、解答题

3． 设函数u=u（x , y ）由方程组u=f（x , y , z , t ）, g （y , z , t ）=0, h （z , t ）=0所确定, 求

【答案】方程组分别关于x , y 求偏导数, 有

和

由和

分别解得

4． 对积分

（2）（3）

进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分:

所确定的区域;

（见图）

.

（1）当D 为由不等式

图

【答案】

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（1）

（2）

（3）

5． 在下列积分中改变累次积分的顺序:

（1）（

2

）（3）（4）【答案】

（1）

（如图1）

图1

（2）

, （如图2）

图2

（3）

（如图 3）

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