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一、解答题

1． 求由下列曲线所围的平面图形面积:

（1）（2）（3）

【答案】（1）令

, 故

从而

x+y=a变换成u=a, x+y=b变换成u=b, y=ax变换成（2）令变换成

即

所以曲面面积为

（3）令当

时,

则

即

从而方程

变换成

, 由图形（如图）的对称性可知图形面积:

, 则

从而方程

变换成

所以图形面积

图

2． 验证下列积分与路线无关, 并求它们的值:

（1）（

2）（3）（4）（5）【答案】（1）

所以积分与路径无关, 取路径

y=x,

得

（2）由关,

取路径

如图, 则

’,

, 则

, 沿在右半平面的路线; , 沿不通过原点的路线;

, 其中, 少为连续函数.

其中P=x=y, Q=y—x ,

.

. 所以积分与路径无

,

图

（3）因

,

,

•故积分与路径无关,

且

（

4）当（5）因

,

时

,

为连续函数, 则

分别是和的原函数, 于是无关, 从而

是全微分, 故积分与路径无关, 且

可见积分与路径

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3． 试确定函数项级数

【答案】由于

所以当

时级数绝对收敛, 当

时级数发散,

当

时, 因为

因而级数发散, 于是级数的收敛域为（-1, 1）. 设

, 当

, 求证f （x ）在（-1, 1）内连续. 时有

由根式判别法知

收敛, 所以

在

f x ）上一致收敛, 从而

（在[-S, S]

内非一致收敛.

, 则

即

4．

研究函数

【答案】当

时,

的连续性.

在（-1,

1）内不一致收敛于0, 所以函数项级数

在（-1

, 1）内非一致收敛.

的收敛域, 并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.

上连续, 由的任意性知f （x ）在（-1, 1）内连续.

事实上, 设

, 取

当时,

当当

时,

时,

无定义.