2018年华北电力大学(保定)数理系617数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设n 为正整数, x , y>0, 用条件极值方法证明:
【答案】先求设令
解得
由于当
即
2． 证明
在或
. 时, F 都趋于
所以
上一致连续.
, 由, 任取
,
且
在
, 设
, 则有
由
, 得
于是, 取
, 则当
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在条件x+y=a下的最小值.
, 故F 必在惟一稳定点
, 故
处有最小值,
成立.
【答案】（1）证法一:
定理知, f （x ）在[0, 1]上一致连续. 对
对任给的知, f （x ）在
（2）证法二:设
,
可取
,
只要
在[0, 1]上连续, 据一致连续, 有
,
就有
上一致连续.
由定义
上一致连续, 综上, 可知
时, 有
故f （x ）在
上一致连续.
二、解答题
3． 研究函数
的连续性, 其中f （x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数. 【答案】当
时被积函数是连续的, 因此F （y ）为连续函数. 当y=0时有F （0） =0.设m 为
而
所以F （y ）在点y=0不连续.
4． 设有两条各长为1的均匀细杆在同一直线上, 中间离开距离c , 每根细杆的质量为M , 试求它们之间的万有引力.
【答案】如图所示, 在上取一微元dr , 则dx 与的引力为
故与的引力为
图
5． [1]导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式:
（1）（3）（1）（3）
【答案】[1]（1）
（2）
（3）
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f （x ）在[0, 1]上的最小值, 则m>0.于是当y>0时,
（2
）
（4
）
; （2
）
（4
）
[2]用题[1]所得递推公式计算:
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（
4）
移项,
得
[2]（1）
（2）
（3）
（4）而
移项, 得
故有
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