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一、证明题

1． 证明公式

,

其中S 是包围V 的曲面, n 为S 的外法线方向【答案】因

则由第一、二型曲面积分的关系及高斯公式可得

因此公式成立.

2． 设

, 证明函数

存在惟一的零点.

, 所以存在

, 所以f （x ）在

满足:加括号后级数

符号相同，证明

【答案】因为所以

设故

又当

存在，即

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而

【答案】因为

则由f （x ）显然连续知, f （x ）在又因

3． 设级数

使.

之间至少存在一个零点.

上单调递增, 所以f （x ）存在惟一的零点. 收敛（m1=0）, 且在同一括号中的

亦收敛. 收敛，所以其中

又因为括号内符号相同，

则存在. 又对任意的n ，存在k ，使得

时必有从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

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4． 证明反常积分

【答案】因为

是收敛的.

所以只需证明记

收敛即可.

则对任意

在

上单调递减, 并且

收敛, 故

收敛.

由狄利克雷判别法可知

5． 证明:若n ,

为递增数列, 又因为

为递减数列

, 且可知, 数列

则与都存在且相等.

有上界, 因而数列

【答案】

由也有上界. 设正数综上所述, 得

6． 设

f

（x ）在

【答案】令由于

是

是有界数列,

设正数M , 使得对一切

于是, 数列可得

都存在. 再由

为递减数列, 所以的一个上界. 由

都是单调有界的, 所以

上可微, 且

, 则

, 因此g （x ）为, 从而可知g （X ）=0, 即

证明:在上f （x ）=0. .

上的单调递减函数, 所以

.

二、解答题

7． 长10米的铁索下垂于矿井中, 已知铁索每米的质量为8千克, 问将此铁索提出地面需作多少功？

【答案】取铁索的一小段为微元, 则有

8． 讨论级数

的敛散性.

, 故

【答案】用柯西收敛准则.

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取显

然

, , 让自然数k 适当大, 取

, 考

察

,

. 注意到,

当

时,

有

因此

这里用到了

9． （1）计算积分

（2）设z=f （x , y）在闭正方形

,

证明存在

, 使得

;

上连续, 且满足下列条件:

.

（当k 适当大时）. 由柯西收敛准则可知, 原级数发散.

, 这里A 是（1）中的积分值.

【答案】（1）如图所示:

图

（2）证明:由所以

由积分中值定理知, 存在

, 使

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,

知,

,