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一、证明题

1． 证明对任意自然数n ,

方程

. 【答案】令

因此, 由连续函数的零点定理知, 又从而

在

上存在惟一的零点, 即方程.

.

与

都是I 上的有界

在

则

上有零点.

所以

在

上单调.

在区间

上总有惟一实根X n ，

并求

在区间[0, 1]上总有惟一实根对

2． 设函数列

【答案】设当又设

. 与时, ,

两边取极限得

在区间I 上一致收敛, 且对每个n

,

在I 上必一致收敛.

,

, 存在正整数N 0, 使得

函数（不要求一致有界）. 证明:

首先证明f （x ）, g （x ）在I 上有界. 而

, 所以

同理可证g （x ）在I 上也有界. 设其次证明

与

在I 上一致有界. 由I

整数N 1, 当n> N1时有

对

因此

, 当

时有

, 则

最后证明有

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. ,

_

, 故存在正

令, 及有

, 取正整数N , 使得当n>N时,

于是当n>N时, 有

故在I 上一致收敛于f （x ） g （x ）. 收敛于a 的充要条件是:

的极限是1. 为无穷小数列, 则

按照数列收敛的定义, 数列

于是, 对任意收敛于a.

时

,

即

存在N , 使得

当

存在N , 使

即

为无穷小数列.

3． 证明定理: 数列

并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设得当

时, 必要性, 设数

列于是, 数列（2）因为

收敛于a , 那么, 对任

意

为无穷小数列.

收敛于0, 即

是无穷小数列, 所以

则在区间I 上f （x ）与g （x ）只

可知h （x ）为I 上的常量函

4． 证明:若函数f 和g 均在区间I 上可导, 且相差某一常数, 即

【答案】令数,

即 5． 设

, 证明:

. 亦即

（c 为某一常数）. , 则在I 上有

（c 为某一常数）.

【答案】由拉格朗日中值定理知,

, 使得

因为上式右端大于0, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:令因为当

时

,

, 则

.

, 显然x=2是g （x ）在

当l

,

, 从而原不等式成立.

上的唯一驻点.

所以x=2是g （x ）的最大值点. 于是

二、解答题

6． 设

求

则有

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【答案】设所以

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Abel 不等式

7． 设

其中f 为可微函数，验证

【答案】设

则

所以

8． 设f :

（2

）

.

【答案】（1）因为（2）令

因为

为可微函数

, 试求分别满足以下条件的函数, f （x ）:

（1）

,

即

以所以有

（单位阵）;

为主对角线元的对角矩阵

故可知F （x ） =c （常向量）, 即

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，共

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