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一、证明题

1． 证明:黎曼函数

在[0, 1]上可积.

【答案】由黎曼函数的性质, 个, 记为

作[0, 1]的分割T :

, 使其满足

由于

而在上式右边第一个和式中,

有

, 所以有

由第二充要条件, 黎曼函数在[0, 1]上可积.

2． 设函数

【答案】令

定义在[0, 1]上, 证明它在（0, 1）上满足下述方程:

则

所以

其中c 为常数, 又

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, 在[0, 1]上使得的点至多有有限个, 不妨设是k

且; 在第二个和式中,

有

且

所以

3． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由（2）

得

4． 设函数f 在（a , b）内可导, 且单调. 证明在（a , b ）上连续.

【答案】

设在

内递增且以

极限定理知,

因为f （x ）在x 0可导,

所以知, 在（a , b ）内连续

5． 设f （x ）对一切

证明:【答案】

, 因为

.

于是

, 由x 0的任意性

在（a , b ）内递增.

设

, 则

在某个

内递增且以和。

为上界,

为下界. 根据单调有界定理知, 极限

都存在. 再由导数

在[0, b]上可积, 且

所以

, 当x>A时有

. 于是

因f （x ）在[0, A]上可积, 从而有界, 所以于是

,

使得.

因当

时,

有

, 所以对

,

当

时有

, 故

二、解答题

6． 在

上展开f （x ） =x+cosx为余弦级数.

上的偶函数,

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【答案】将f （x ） =x+cosx延拓为

则,

由收敛定理, 对,

在点处, 其傅里叶级数收敛于

7． 举出定义在[0, 1]上分别符合下述要求的函数:

（1）只在（2）只在（3）只在【答案】 （1）（2）（3）（4）

, 使得

使得

;

和三点不连续的函数 和二点连续的函数；

上间断的函数；

（4）只在x=0右连续, 而在其他点都不连续的函数.

8． 设f （x ）在（a , b ）内无上界, 求证

:

f x ）【答案】由于（在（a , b ）内无上界, 对10, 因为1不是上界, 所以对

20, 因为2不是上界,

所以,

使得,

使得对n0, 因为n 不是上界, 所以

由

及广义极限不等式知

对30, 因为3不是上界,

所以使得

依此下去, 产生一序列

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