当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设D （x ）为狄利克雷函数

,

取

,

对

及

, 证明极限

不存在.

, 使得

不存在 ,

使得

一个是

【答案】方法一:利用柯西准则的否定形式.

, 由实数的稠密性知, 存在

, 从而

及无理数列

有理数, 一个是无理数, 于是有

方法二:利用归结原则的否定形式.

对 2． 设

b]上绝对且一致收敛.

【答案】因为又由

收敛, 即

与

是[a, b]上的单调函数, 故对任意

均绝对收敛, 得

收敛, 从而

在[a, b]上一致

在[a, b]上绝对且一致收敛.

收敛, 并说明比式判别法对此级数无效. 则

故比式判别法对此级数无效.

又

故

由根式判别法知此级数收敛.

4． 以S （x ）记由理证明拉格朗日中值定理.

【答案】由拉格朗日中值定理的题设知, f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导.

由

三点组成的三角形面积为

, 存在趋于X 0的有理数列, 从而

不存在.

是[a, b]上的单调函数, 证明:若

与都绝对收敛, 则在[a,

3． 由根式判别法证明级数

【答案】记

三点组成的三角形面积, 试对S （x ）应用罗尔中值定

由题设知, 函数S （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导. 又因为得

5． 设的点x 0处

【答案】因为

所以又

故由于如果有

使

.

知, 在x 0附近存在隐函数g :

.

由定理可知, 这时由

.

可能为零也可能不为零, 故若

可微, 且有连续的偏导数, 则记

,

. 又因为D 为开集,

,

.

为开集,

且

证明:

在满足

, 所以由罗尔中值定理, 存在, 使得

, 由

. 但是由方程f （x ） =0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g

:

则方程f （x ）=0可以写为

二、解答题

6． 设数

在[a, b]上不仅收敛, 而且一致收敛. 【答案】级数可记为由每一个

又x=a及x=b时

,

设

为收敛于零的函数列,

故

则

在[a, b] —致有界.

又对每一个

为[a, b]上正的递减且收敛于零的函数列, 每一个

都是[a, b]上的单调函数, 则级

都是[a, b]上的单调函数可得

是单调的, 由狄利克雷判别法可知, 原级数在[a, b]上一致收敛, 从而也必收敛.

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

7． 若

【答案】

. 求

不存在.

8． 设f （x , y ）为连续函数, 试就如下曲线:

（1）L :连接 A （a , a ）,

C （b , a ）的直线段

;

（2）L :连接A （a , a ）, C

（b

, a

）, B （b ,

b ）三点的三角形（逆时针方向）

,

计算下列曲线积分:

【答案】

曲线如图所示,

图

（1）直线段L （AC ）的方程y=a,

所以

（2）