2018年天津师范大学数学科学学院654高等数学之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由（2）
2． 证明:若级数
与
收敛, 则级数
和
得
也收敛, 且
【答案】因为
又所以
及
均收敛, 所以
收敛, 故
收敛. 又因为
及闵可夫斯基不等式
对
取极限, 进而可得所证明的不等式.
3． 设函数f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且满足
证明:至少存在一点【答案】令中值定
理知,
, 使得
因此, 由罗尔定理可知,
, 使得
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收敛, 故由柯西﹣施瓦兹不等式
, 使.
, 则F （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导. 由题设, 利用积分
由于
故有
4． 设
【答案】
同理，
所以
5． 若函数
. 满足恒等式
z ）则称F （x , y ，为k 次齐次函数，
，c 为常数
，
，证明:
试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F （x ，y , z ）为k 次齐次函数的充要条件是:
并证明:
为2次齐次函数.
令
两边对t 求导得
充分性 设令
由己知，得所以（2）因为
求关于t 的偏导数得
于是仅是x , y , z 的函数，记
，
令
，
因此
所以z （x ，y ）为2次齐次函数.
【答案】（1）必要性 由令t=l则有
二、解答题
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6． 设
【答案】由’
, 其中
z=f（
x ,
y
）由方程所确定的隐函数求
故
及
所确定的隐函数z=f（x , y ）得.
7． 求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式:
（1
）（
2）⑶【答案】
（
1
）
因此
f
（x ）带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为
（
2）
,
故
于是
（3）
*
故有
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5
到含x 的项
； 到含x 的项
.
,
5
,
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