2017年宁波大学理学院871高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
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3． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
4． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
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，
都是4维列向量，且4阶行列式
分别为A ，B 的伴随矩阵，
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
二、分析计算题
6． 设A 为非零矩阵，但不必为方阵，证明矩阵.
【答案】设A 为
如果
则有
所以又从而可得
如
果所以
7． 设
【答案】
应用辗转相除法可得
所以f （x ）有重因式. 又
所以f （x ）的不可约因式只有重因
式. 因此，
的标准分解式是
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有解当且仅当必有其中E 为单位
矩阵
.
有解
所以有
即
则有
有解. 判断
是否有重因式，并求
的标准分解式.
则线性方程
组
且
即
有非零解. 任取一个非零
解矛盾.
可知A 存在可逆矩阵，即
考虑到
可知的4