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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

3． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

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中选三个向量组

从而否定A ,

若选从而否定C ,

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

由上述知

线性相关，所以

于是

因此线性相关，故选A.

4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

5． 设A 为4×3矩阵，常数，则

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

是非齐次线性方程组

的3个线性无关的解，

为任意

.

则

也不是线性变换，

比如给

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到

是

的一个特解，所以选C.

（否则与

是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组

的两个线性无关的解.

二、分析计算题

6． 设

都是线性空间V 的子空间，

【答案】只要证明

即可. 事实上，因为

.

所以有

以

从而有

由式（1）、式（2）知

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证明：

所以

因为

所

因此

7． 设A , B 为n 阶方阵且矩阵且主对角线上元素为

【答案】由于化且特征根为

故A 满足

证明：存在可逆方阵P , 使从而A 的最小多项式整除

与同时为对角

无重根，A 可对角

于是存在可逆方阵使

令则由得

为r 阶，

阶.

即又由对

可得

从而

由此得为

同理由上知，存在可逆方阵

使

其中

令

且

则可得

8． 设V 是一个n 维欧氏空间，它的内积为

（1）证明

是V 上线性函数；

的映射：

是V 到

的一个同构映射. （在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）

【答案】（1）易证是V 上线性函数，

即（2）现在令映射为

下面逐步证明是线性空间的同构.

①是单射. 即证明当对

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对V 中确定的向量

定义V 上一个函数

（2）证明V 到

时有