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一、选择题

1． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此 2． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

线性相关，所以线性相关，故选A.

则当（ ）时，此时二次型为正定二于是

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

则

线性无关，

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的. 3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

4． 设

是非齐次线性方程组

的两个不同解，

是

的基础解系，

为任意常数，

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

由于

因此

线性无关，且都是

知

的解. 是

的特解，因此选B.

故是的基础解系. 又由

5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

二、分析计算题

6． 求一个次数最低的实多项式，使其被

除佘式为x+1，被

，h （X ），使得

【答案】设f （x ）为所求，由带余除法定理知，存在多项式g （x ）

，得显然令取x=i代入（1-18）于是a=3，b=l.直

接验证可知

为所求.

7． 求

（1）（2）（3）

【答案】（1）用辗转相除法进行计算

.

使

以上计算表明

因此