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一、选择题

1． 设A 是

矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果则. 有非零解

B. 如果秩

则

有非零解

C. 如果A 有阶子式不为零，则有惟一解 D. 如果A 有n 阶子式不为零，则只有零解

【答案】D 【解析】秩

未知量个数，

有零解.

2． 若

都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】 C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

3． 设

则3条直线

（其中

）交于一点的充要条件是（ ）

.

【答案】D 【解析】令

则方程组①可改写为

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其中

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

线性表出.

方程组①有惟一解

由秩A=2, 可知可由 4． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

可知线性相关，即可由线性表出，

从而

线性相关，故选D.

则A 与B （ ）.

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

使

且由①式得

因此A 与B 合同.

5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

二、分析计算题

6． 设

和

是n 维欧氏空间V 中两个向量组. 证明存在一正交变换

的充分必要条件为

【答案】

记

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使

取的一组标准正交基取的一组标准正交基得到V

的两组基

这两组基的度量矩阵相等，都等于

作V 的线性变换. 对令

将表成

如下：

的线性组合：

则是V 的一个线性变换，且

对V 中任一个向量

则

所以

是一个正交变换，这就是满足条件的正交变换.

7． 计算下列n 级行列式：

（1）

（2）

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