2018年哈尔滨工业大学理学院612数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 若L 是平面
上的闭曲线, 它所包围区域的面积为S , 求
,
其中L 依正向进行. 【答案】因
故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得
2． 下列级数哪些是绝对收敛, 条件收敛或发散的:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
而
收敛, 所以原级数绝对收敛.
【答案】（1）因为
（2）因为
（3）根据p 的取值范围讨论. 设
时, 因p>0时,
因
由级数收敛的必要条件知原级数发散.
不存在, 故原级数发散.
而此时
收敛, 故p>l时原级数绝对收敛,
且
时
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发散
, 即原级数在
时, 记
则当x 充分大时
时不是绝对收敛.
则
从而当n 充分大时数列
单调递减, 又
故由莱布尼茨判
别法知原级数收敛且为条件收敛.
（4）记列且
（5）因数列以原级数发散.
（6
）记
因
故可知:
所以
所以（
7）记（8）记
为单凋递减数列且
因则
故当当
3． 设
时原级数绝对收敛； 时,
在平面上二次连续可微,
；
.
从而原级数发散.
由莱布尼茨判别法可得原级数条件收敛.
故原级数绝对收敛.
发散, 即原级数不是绝对收敛
. 又记 时
,
为单调减函数, 又
因
而
发散
, 故原级数不是绝对收敛. 又因为单调递减数
故由莱布尼茨判别法知原级数条件收敛.
. 单调递减且
所以级数
收敛, 又
发散, 且
所
（1）用u 关于r , 的偏导数表沄
（2）用u 关于r , 的一、二阶偏导数表示【答案】 （1）（2）
4． 利用定积分求极限:
（1）（2）（3）
;
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（4
）.
【答案】（1）把极限化为某一积分的极限
, 以便用定积分来计算
, 为此作如下变形
:
这是函数
, 而
在区间[0, 1]上的一个积分和的极限.
这里所取的是等分分割,
恒为小区间
的右端点
,
（2）
不难看出, 其中的和式是函数
在区间[0, 1]上的一个积分和. 所以有
（
3）
（4）
5． 设函数f , g , h , s , t 的定义如下:
试依链式法则求下列复合函数的导数: （1）
; （2）'
; （3）
; （4）, 则
所以有
; （5）; （6）.
【答案】（1）令