2018年曲阜师范大学自动化研究所750数学分析A考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
（1）无穷积分（2）无穷积分【答案】利用级数法. （1）原积分
而
当
时有
故
由
发散, 可知
发散, 从而原积分发散.
发散; 收敛.
（2）类似于（1）, 有原积分而
当
时利用不等式
, 有
9
故
由收敛, 可知收敛. 同理可证收敛, 从而收敛. 由此可知, 原积分收敛.
2． 设u （x , y ）, v （X , y ）是具有二阶连续偏导数的函数, 证明:
（1）（2）其
中
D
为
光
滑
曲
线
L
,
是u （x , y ）, v （x , y ）沿曲线L 的外法线n 的方向导数. 【答案】在格林公式中, 以P 代替Q , ﹣Q 代替P 得
其中n 是L 的外法线方向. （1）在（a ）中令
’
则得
即
（2）在（a ）中, 令
则得
即
（c ）式减（b ）式得
3． 按
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
定义证明:
所
围
的
平
面
区
域
,
而
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对任意
由
则当
时
.
（2
）因为
所以
对任意
由
得
取
则当
时,
（3）当n 为偶数时,
当n 为奇数时,
对任意
取
则当
时,
, 故
故
二、解答题
4． 求均匀曲面
【答案】设质心坐标为|
,
由对称性有:
的质心.
,
其中S 为所求曲面的面积, 而
则
D 为S 在xOy 面投影
5． （1）叙述极限
【答案】（1）设任给
存在实数
, 所以质心坐标为的柯西准则
不存在的充要条件, 并应用它证明上有定义, 极限使得对任何
.
.
（2）根据柯西准则叙述
在
不存在.
存在的充要条件是:
'-fi