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一、计算题

1． 求极限:

【答案】（1）因为x , 连续点. 于是

（2）该函数在x=1处为右连续, 于是

2． 方程

【答案】令②F （0, 1, 1）=0;

③④

3． 应用柯西准则判别下列级数的敛散性.

（1）（2）（3）（4）

均在上述邻域内连续；

在点（0, 1, 1）的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？

, 则

都是R 上的连续函数, 所以当

时, x 是

的

①F （x , y , z ）在点（0, 1, 1）的某邻域内连续；

故由定理知, 在点（0, 1, 1）的某邻域内原方程能确定出函数x=f（y , z ）和y=g（x , z ）.

【答案】（1）任意的自然数P ，

又

从而任给的

存在

当m>N时，对任意的正整数P ，有

，

由柯西准则得原级数收敛.

（2）当 p=l 时,

由柯西准则知原级数发散.

（3）任给的自然数p （不管是奇数还是偶数），

故任给的正数

取

当m>N时及任意的自然数p ,

由柯西准则知原级数收敛. （1）当 p=m 时，

故存在

对任意正数N ，总存在

及P=m, 使

由柯西准则知原级数发散.

4． 求下列极限:

【答案】 （1）因为

所以

（2）

,

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（3）

5． 已知

【答案】令

则

求

所以 6． 设

【答案】由又

在

计算积分

而

上连续,

从而由定理知

7．

将函数

【答案】记

展开为傅氏级数.

,

因为f （x ）是奇函数, 所以

, 且

即得

8． 设

【答案】对当

, 取

邻域

讨论

, , 即

收敛可得级数

一致收敛.

在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性.

属于（0, 0）的时, 有