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一、证明题

1． 若

推得进而

收敛吗？ 【答案】由

收敛. 若仅知道

收敛，未必有

收敛. 如

则

2． 证明：

对

一致收敛.

收敛，但

发散.

可得

又因为级数

绝对收敛，故级数

丨收敛，

且级数

绝对收敛，证明级数

也收敛. 若上述条件中只知道

收敛，能

【答案】这个积分有无穷多个奇点，所以需要将这个积分写成级数形式

.

对而言，t=0为奇点. 由对而言，综上可知，

为奇点. 由

在[0，b]上一致收敛.

的收敛性知，在[0, b]上一致收敛. 的收敛性知，在[0, b]上一致收敛.

3． 利用条件极值方法证明不等式

【答案】取目标函数

约束条件为

对L 求偏导数，令它们等于0, 则有

。拉格朗日函数为

解方程组易得稳定点是

为了判断把目标函数

看作与

是否为所求条件极值，可把条件

的复合函数

当

由此可得稳定点为极大值点，即有不等式

即

4． 设

为

上的连续递增函数，则

即可.

使

5． 设D (x ) 为狄利克雷函数

，

【答案】

令

和无理数

，

使得

对任意的

证明于是

看作隐函数并

于是

.

【答案】只要证明由于

单调递增，利用积分第二中值定理，则存在

不存在.

中存在有理数

不存

根据柯西准则，

由有理数和无理数的稠密性可知，在

在.

二、解答题

6． 讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性：

(1)

(2) 【答案】(1) 因为

所以

②当

时

，

当x=l时，

在[0, 1]上连续，而极限函数f (x ) 在[0, 1]上不连续，所以{f(x ) }在[0, 1]上不一致收敛.

③因为

所以(2) 而

所以

在(0, 1) 上不一致收敛.

故

7． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α（0<α<90°）角斜沉于液体中. 设a>b，长边平行于液面，上沿位于深h 处，液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力。

【答案】如图所示，静压力的微元

则