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一、证明题

1． 证明sinx 在

【答案】对于任意的

上一致连续.

有

对任给的

在

2． 设f 为傅里叶系数，证明

【答案】因为f

为又

故

即

3． 设f 在

(2)

【答案】(1) 由得

并且对一切

故f 在R 上连续. (2) 对整数

有

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取

则对一切

当时，

有

故

上一致连续。 上的光滑函数，且

为f 的傅里叶级数

为f 的导函数的

上的光滑函数，所以f (x ) 在上有连续的导函数

连续，且对任何

可知

于是

由f 在x=0连续可

有

证明：

(1) f 在R 上连续；

所以

于是对任何有理数r 有上连续，有

4． 证明：若级数

对任何无理数

故对任何

与

收敛，则级数

和

也收敛，且

【答案】因为又所以

及

均收敛，所以

收敛，故

，收敛. 又因为

收敛，故由柯西-施瓦兹不等式

及闵可夫斯基不等式

»

对

取极限，进而可得所证明的不等式.

5． 证明：函数

有无穷多个极大值，但无极小值. 【答案】

令

解方程组可得无穷多个驻点

此时

故f (x ，y ) 在驻点当n 为奇数时，驻点为f (x , y ) 在

处取得极大值，极大值为

此时

处无极值. 综上知，f (x , y ) 有无穷多个极大值，但无极小值.

当n 为偶数时，驻点为

存在有理数列

使

由f 在R

二、解答题

6． 求螺旋线

【答案】

对轴的转动惯量，设曲线密度为

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则

7． 设

【答案】二元函数

上可微，且

8． 讨论下列函数列在所示区间D 上是否一致收敛或内闭一致收敛，并说明理由：

(1) (2) (3) (4) (5)

【答案】(1) 任意

设

则

所以(2) 任意

在D 上一致收敛，且表达式可知时，只要

则有

当x=0时，

所以

故

从而

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在矩形区域

上连续，

均为可微函数. 则函数

在

在D 上一致收敛，且

设

则

故从而(3) 由当

所以在上不一致收敛.