2017年中南民族大学数学与统计学院601数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
在对
产生一序列
2． 设正项级数
【答案】因为收敛，进而由比较原则得
收敛.
内无上界，求证
：在
对由收敛，证明级数
内无上界，
对
因为2不是上界，所以使得
使得
对
使得
因为1不是上界，
所以
使得.
，
使得
依此下去，
【答案】
由于
因为3不是上界，
所以
因为n 不是上界，所以及广义极限不等式知
也收敛. 义由已知碍
及
收敛，所以
二、解答题
3． 设
其中A ，a ，b 为常数，试问A ，a , b 为何值时，【答案】.
故要使
又
要使有导数存在，必须b=0.
处可导? 为什么？并求
存在，必须A=0.
综上可知，当A=b=0为任意常数时，f （x ）在z=0处可导，且
4． 设函数
在
由中值定理
上有
在
试求关于上连续
的函数式. 则
【答案】
首先证明若
对
上任意两点
所以由
对X 的任意性，知
与X 无关，即
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再求U 关于的函数
式. 因
因而
从而
据上述结论知
所以
5． 设
【答案】
6． 求函数微性.
【答案】
若而
当
肘，
从而
所以
在
不可微.
在
点可微，则+
且
在原点的偏导数，
并考察
的可
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一、证明题
1． 证明：由曲面S 所包围的立体V 的体
积
为曲面S 的外法线方向余弦。
【答案】因
故原公式成立。
2． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明：若点极限都存在，则
在内有
开覆盖.
(2) 利用致密性定理解:反证法。假设使
得
则
矛盾。
(3) 利用区间套定理解:反证法. 假设使得论 3． 设
在每个区间
在点邻域内的有界性，推出矛盾.
在
上无界，则利用二等分法构造区间套
然后讨
上无界. 由区间套定理，存在唯一的
于是得到数列
由致密性定理
，
. 中存在收敛子
列
设
在
上无界，则对任意正整数n ，存在
上有界.
设
即
则
使得在
的一个
以此构造闭区间
【答案】(1) 利用有限覆盖定理解:由已知，
在
上有定义，且在每一
为
其中
二、解答题
应用链式法则计算
即
则
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【答案】把看作以下三个变换的复合