2017年中南大学数学与统计学院712数学分析之数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
局部保号性：若函数作在点
内
与【答案】设续，所以存在
从而当当得在其上
即
2． 设
【答案】因为
可见/在
证明：若
且上与
则
所以
同号且
连续，而且
则函数
在点
的某一邻域使得对任
意
因为
时
住取
由上可知存在
使
在点
处连
同号，并存在某个正
数
则存在r , 使
取使得当
时，有
二、解答题
3． 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为火车运费的单价是最省。
，的B 城（图）轮船运费的单价是
的总运费
试求运河边上的一点M , 修建铁路MB ，使
图
【答案】设
则
总运费
由
得
时总运费最省。
4． 计算二重积分
其中是双纽线【答案】令
则双纽线方程为
围成的区域.
(如图) :
舍去负值，
经检验
故M 点距C
点的距离为
图
由于区域和被积函数关于x 轴对称，故
5．
设函数
【答案】方程组分别关于
求偏导数，有
由方程组所确定，
求
分别解得
6． 利用已知函数的幂级数展开式，求下列函数在x=0处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间
.
【答案】(1) 由(2) 由
可知
(3) 由
可得当
时，
(4)
可得
(5) 因为
所以
时，
(6)
因为
所以
时
可知