2017年中南民族大学数学与统计学院601数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f (x ) 在在
【答案】
其中
因为
单调递减.
在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是：对任意在，所以
收敛于f.
充分
性
当
上所有点时，
取所以
时
，
由已
知
使
得
有
在
上一致收敛于f. 从
而
显然，当取遍[a，b]
上一致收敛于f. 总存在
的一个邻域而
和I 的一个内闭区间[a, b]，
使得
在
上一致
在[a, b]上一致收敛于f ，因此
存在的一个邻
代入①式，得
在
2． 证明域
使得
上一阶可微，且
在
上单调递减，试证：
亦
上单调递减.
【答案】
必要性
覆盖[a, b].由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b].不妨设
，有
则当n>N时，
在I 上内闭一致收敛于f.
在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性，得
二、解答题
3． 求
型的不定式，都非常复杂，但用等价无穷小量替换可使
【答案】该题无论是化成
型还是问题简化. 因为
所以原极限
4． 研究函数
【答案】
处的各阶导数. 故
在
处连续
.
于是
一阶导数
于是
即二阶导数
因为
5． (1) 计算积分
(2) 设
在闭正方形
上连续，且满足下列条件：
证明存在
这里A 是(1) 中的积分值. 【答案】(1) 如图所示：
使得
所以三阶导数不存在，并且当
时
都不存在.
图
所以
由积分中值定理知，存在
使
故
6． 求下列不定积分：
【答案】（1）设
比较等式两端x 的同次幂系数，得
由此，得
于是，有
通分后应有
（3）当当
时，
时
，
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