2017年中南民族大学数学与统计学院601数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f (x ，y ) 在点
(1) 试证：存在的邻域(2) 试证：得
(即将y 视为常数，对f (x , y ) 关于x 求驻点). 也就是说，找由方程，
在点又
由
时
(2) 由定义及f 在点
的邻域内满足隐函数存在定理的全部条件，因此在
可确定惟一的连续可微函数x=x(y ) 满
足及其连续性知，存在充分小
的g (y ) =f(x (y ) , y ) .
的可微性，有
其中1
1时注意到
因此
是有意义的). 及
有界，由式(1) 可知，
2． 设
在点
存在，在点
于是有
令
时有
故f (x ，y ) 在点
从而可微.
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的邻域内二次连续可微，且
使对任何
能求得f (x , y ) 关于x 的一个极小值g (y ) ;
【答案】(1) 对给定的y ，要求f (x ，y ) 关于x 的极小值，按照求极值的步骤，应对y 找出x 使
所确
定的隐函数x=x(y ) , 使得
由已知条件，方程点
的某个邻域内由方
程
使
当
. 这表明f (x ，y ) 关于x 在点(x (y ) , y ) 处取得极小值，记为g (y ) , 即
(因为x=x(y )
在的小邻域内连续，所以当
在点
连续，证明f (x ，y ) 在点
可微.
【答案】因为其中
存在，由一元函数的可微性知
因
为在
点即
连续，所以
当
二、解答题
3． 作函数导法，得
由
可知
为垂直渐近线. 又因为
所以有斜渐近线
根据表渐近线，画出函数图形如图所示.
表
的图形.
由定义可求出
当
时，利用对数求
【答案】函数的定义域为
图
4． 讨论在什么条件下，函数
在点
可微.
当当
时，时，
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【答案】由定义，需要计算
所以当且仅当当
时，对充分小的
或
总之，当
时
，恒有时，
存在且为0.
故对任意的都有
在点
可微且
绕x 轴旋转而成. 其体积可由旋转体体
从而
5． 已知球半径为验证高为h 的球缺体积
【答案】这个球缺可看作由曲线积公式
求得。
6． 求下列级数的和：
(1) (2)
【答案】(1) 设
易知其收敛域为
由幂级数的性质知
所以
故
(2) 设
易知其收敛域为(-1，1]，且
从而
故
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