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一、证明题

1． 若

【答案】因为

证明

：

所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得

结论得证.

2． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

3． 证明:若与

【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为

, 其中. 由

且v 与W 相互独

容易算得

则当

时有

由此写出E （F ）

则

从而可得在其他场合,

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不存在.

当r=l时, 只要就有

当r=2时, 只要就有

4． （伯恩斯坦大数定律）设

证明:

【答案】

记

所以

是方差一致有界的随机变量序列, 且当

任

对

存在M>0,

当

时,

一致地有

时,

有

服从大数定律.

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知 5． 设计.

【答案】由于

这就证明了

，是的相合估计.

独立同分布，

，证明：

是的相合估

服从大数定律.

6． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

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即A ，B 相容.

7． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

8． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则

因此

所以得

又由

所以

（2）当c=0时，

又由

由此得结论.

由此得

【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

的概率分别

是

证明

：

二、计算题

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