2017年内蒙古工业大学理学院805概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为
【答案】
设事件设
则显然有
则由全概率公式得
把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有
类似有
所以代入（1）式得
由归纳法知结论成立. 2 设分别自总体．
试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.
【答案】由已知条件有
且
独立. 于是
故
这证明了又
是的无偏估计.
从而
因而当
时，Var （Z ）达到最小，此时
第 2 页，共 37 页
个
下用归纳法证明.
为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，
记
中抽取容量为，的两独立样本其样本方差分别为
都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）
该无偏估计为
这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是的线性无偏估计类中方差最小的.
3． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.
【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有
所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得
P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.
4． 设是来自均匀分布的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函数为
其中
是两个己知的常数.
的样
（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须
与
的联合分布为
所以的后验分布为
要使
与
这是一个参数为
与
的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
（2）若选用后验期望估计，则
5． 设
证明:
为独立随机变量序列, 且
服从大数定律.
相互独立, 且
由此可得马尔可夫条件
第 3 页，共 37 页
【答案】因为所以
由马尔可夫大数定律知 6． 设证:
【答案】注意到
服从大数定律.
是样本方差, 试
为一个样本,
故
证明完成.
7． 设X 为非负连续随机变量，证明：对
，则有
【答案】设X 的密度函数为p （X ）
8． 设二维随机变量
服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为
是来自该总体的样本, 证明:
二维统计量
该二元正态分布族的充分统计量.
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处,
故
从而
注意到
上式可化解为
第 4 页，共 37 页
是