2017年南京财经大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 从正态总体
中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
2． 设分别是UMVUE.
【答案】由于
满足
的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , 分别是
的UMVUE , 故
且对任意一个于是
因此
是
的UMVUE.
3． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且
记
（2）设其中
以下对n 用归纳法：
（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有
则
代入可得
由归纳法知结论成立.
4． 设连续随机变量
独立同分布, 试证:
又设
为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，
是
的其
管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为中
由判断准则知
【答案】设诸而事件
的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.
从而该事件的概率为
若记诸
的分布函数为
则上式积分可化为
5． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为
其
中明,
【答案】令
服从自由度为2的（1）, 则
为样本的次序统计量. 试证分布
的联合密度为
作变换
其雅可比（Jacobi ）行列式为
合密度我们可以知道
的联合密度为
从而
由该联
是独立同分布的随机变量, 且
这是指数分布就证明了
6． 设总体为韦布尔分布
的分布函数, 我们知道
,
其密度函数为
现从中得到样本
证明
仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.
为
就是
也就是. 这
【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数
因而最小次序统计量这说明.
7． 证明:对任意常数c , d , 有
【答案】
由
得
因而结论成立.
8． 设从均值为
方差为
的总体中，分别抽取容量为
的两独立样本，
分别是
的分布函数为
这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.
【答案】由于
是容量分别为
都是的无偏估计，并确定常
的两独立样本的均值，故
因而
这证明了又由a+b=l知，
是的无偏估计.
从而
由求导知，当
时，
达到最小，此时
这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&
的样本的合样本（样本量为
是线性无偏估计类
中方差最小的.
）的均值