2017年中国海洋大学数学科学学院856高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
2． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为
3． 设n （n ≥3）阶矩阵
=（ ）.
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）.
A.1 B. C.-1 D.
故
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
【答案】B 【解析】但当a=l时，
4． 设线性方程组
【答案】（C ） 【解析】设
即证秩
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
二、分析计算题
6． 设向量组线性表示。
【答案】用反证法，若则
[否则若
可以由则由①知
线性表示，即
线性相关，矛盾].由①可解得
再由类似可证
[否则
线性相关，存在不全为零的秩
线性相关，这与
线性无关，向量组线性相关，试证：不能由
使
线性无关矛盾].由③解得
但线性表示. 7． 已知
二次型，
的秩为2.
将f 化为标准形.
线性无关，表示法惟一，由②，④可得
矛盾，即证
不能由
（1）求实数的值；（2）求正交变換【答案】（1）因为
对A 施以初等行变换
所以，当a=-l时，（2）由于a=-l，所以
于是，当
的特征值为时，由方程组
可得属于2的一个单位特征向量
可得属于6的一个单位特征向量
可得属于0的单位特征向量
当
时，由方程组
当
时，由方程鉅
令则f 在正交变换下标准形为
8． n 级欧氏空间V 的线性变换，满足迹等于
在V 之某基底下对应矩阵的迹数）.
目
.
则由式. ，则
知
证明：迹（题中表示零变换，
【答案】取V 的一组基
那么
是A 的零化多项式. 设为A 的最小多项
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