2017年中北大学理学院822高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
分别为A ，B 的伴随矩阵，
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
的3个线性无关的解，
为任意
4． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 5． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1 是
的一个特解，所以选C.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
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A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
二、分析计算题
6． n 阶方阵A 满足
当且仅当
【答案】先证必要性由
知，A 相似于形如
的对角阵，其中1的个数为A 的秩，又E —A 与E —A. 相似，从而有相同的秩，而
其中0的个数为A 的秩，1的个数为n —r （A ）. 所以
再证充分性只要证从而
存在惟一分解
综上即证
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均有即可
X=0的解空间与（E —A ）
满足
+rAX=0的解空间由已知n=r（A ）（E —A ）说明，
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