2017年中北大学理学院822高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
5．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
所以f 为正定的.
二、分析计算题
6． 设A 为n 阶实反对称矩阵. 证明：
存在正交方阵U 使
其中D 为主对角线上元素为阵；
【答案】由于A 为实反对称矩阵，故可知A , 为实对称矩阵. 设A 的特征根为
从而的特征根为其平方，即
于是存在正交矩阵
使
其中D 为主对角线上元素为（3）的对角矩阵
. 由于故
为V 的基.
是否存在j ，
使得
由过渡矩阵A 的第i 行不全为0，设
所以
记
因为
使
为V 的基，为什么？
而
7． 设线性空间V 的两组基为
（1）求 【答案】（2）如果n=3，答:（1）设
（
为实数）的对角矩
上式右侧的n 阶矩阵可逆，財（2）结论成立. 事实上：排列. 由
（1）存在使显然
是V 的基；再由（1）存在
则
是V 的基. 仍是V 的基，这里
是
的一个
是V 的基，这里