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一、选择题

1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

2． 设

为空间的两组基，且

又

则（ ）•

【答案】（C ）

【解析】令由②有

将①代入④得

即

3． 若

都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

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4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

分别为A ，B 的伴随矩阵，

二、分析计算题

6． 求以下g （x ）能整除f （x ）的条件：

，可得商和佘式分别为： 【答案】①用g （x ）去除f （x ）

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令

得

即

展开后比较两端同次项系数可得：

由此解得：

或

. 这就是g （x ）整除f （x ）的条件.

7． 设K 是一个数域，x 是一个不定元，给定正整数n ，令

关于多项式加法和K 中数的乘法组成K 上的一个线性空间，在此线性空间中定义变换

这里

为多项式

的微商

（1）证明：D 是一个线性变换； （2）令E 为（3）在【答案】 （1）

∴是（2）在

到

的一个线性变换. 中取一组基为

可得

其中设

又因为恒等变换E 在这组基下矩阵为n+1阶单位阵在这组基下矩阵为B , 则

此即为

的全部特征值.

下的矩阵成为Jordan 标准形. 求出的所有不变子空间

构成V 的基，进而此基下

（3）由②式知A 是若当块，故D 在基

8． 设是n 维线性空间V 的线性变换，且

【答案】由的矩阵为

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②因f 次=4，g 次=2, 故商必为2次且首系数为1，令

的恒等变换，求E+D的全部特征值；

内找一组基，使D 在此组基下矩阵成为Jordan 标准形

有

则存在使