2017年华侨大学数学科学学院723数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
局部保号性：若函数作在点
内
与【答案】设续，所以存在
从而当当得在其上
即
2． 证明：当
可见/在
时
【答案】因为
所以
3． 设
在
上三阶可导，证明存在
使得
【答案】则有使得
即
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连续，而且则函数在点
的某一邻域使得对任
意
同号，并存在某个正
数
则存在r , 使
取使得当
时
住取
时，有
因为在点处连
由上可知存在使
上与同号且
连续使用柯西中值定理，
4． 证明:若
则
.
为.
对任意
上连续，所队有
其中
依次进行下去，可知存在当又对一切
时，有连续，所以
有
所以
使得
'
在
有
上存在最大值M.
其中
上的连续函数，且对一切
有
【答案】
显然
，
而对于上面的
二、解答题
5． 设
试问k 为何值时，方程
其中
则使得
即
存在正实根。
如果方程
于是
存在
【答案】
令
正实根
根据罗尔中值定理，
则存在
则
反之，
如果
于是
存在定理可得，存在
因而存在
所以存在使得
使得
即方程
使得
在区间
由此得
因为
上应用连续函数根的
有正实根综上所述，原方程存
在正实根，当且仅当
6． 已知g 为可导函数，a 为实数，试求下列函数f 的导数：
【答案】
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7． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α（0<α<90°）角斜沉于液体中. 设a>b，长边平行于液面，上沿位于深h 处，液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力。
【答案】如图所示，静压力的微元
则
图
8． 求由下列曲面所围立体V 的体积：(1) V 是由
(2) V 是由曲面【答案】(1)
由故体积
这里应用变换(2) 由
底面为
所以立体V 在xOy 平面上的投影为D :
则体积
且
9． 设
【答案】当
时，由
知
当m=n时，有
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和z=x+y所围的立体； 因此积分区均
所围的立体.
立体的顶面为
•, 所以
试求