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一、证明题

1． 设

【答案】由.

2． 证明：对任一多项式

【答案】设当n 为偶数时，时，

格递增。

当n 为奇数时

，

令

3． 设

为偶数，

则

则

在

与

故存在

内分别严格递增。 使对一切

均有

使得当

时

，

当

为奇数，此时有时，

于是，在

内

一定存在

与

使

证明：

代入得在

与不妨设

故存在

严格递减，在

内使得当

严

.

内分别严格单调。 则

可微，且在上连续，若存在常数

试证明：(1) 是

因为

上的一一映射；(2) 对一切

【答案】(1) 任取所以

(2

)

即是上的一一映射。 因为f 在处可微，即

所以使

则

由

4． 设

【答案】设

的任意性知，

且aN时，有因为b>a，所以

由于

对于

存在正整数

使得当

. 时，

有

取

由此推出，当n>N时

又由于

对于

. 故当n>N时，有

存在正整数

使得当时，

有

当n>N时，同时有

二、解答题

5． 求抛物体匀棒的重心. 所

以

求转动惯量时，把抛物体看成由曲线

绕z 轴旋转而得，如图所示：

的重心和绕z 轴的转动惯量（已知抛物体的密度为1）.

把相应的体积微元的质量：

看成求质量不均

【答案】取自变量微元

图

取自变量微元

则相应的面积微元为

, 它是如图中的区域A ，把区域A

绕

轴旋转而得的体积微元的质量为于是

6． 求

是以为周期的连续函数，故有

对

作变换

则有

从而转动惯量微元为

【答案】由于被积函数

即

对

作变换

类似于上面，则有

于是有

令

则有

7． 求下列函数在

【答案】（1）所以

为函数

的最小点，最小值为上的最小值：

因为

或考查

故小值

为

8． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α（0<α<90°）角斜沉于液体中. 设a>b，长边平行于液面，上沿位于深h 处，液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力。

【答案】如图所示，静压力的微元

则

为函数

的最小点.

及

有相同的最小点. 利用第（1）小题知

的最

（2）注意到