2018年太原理工大学数学学院704数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
（1）（2）若
【答案】（1）因为于是当
时, 有
其中存在正整数
使得当
时, 有
取
则当
时, 有
故
由这个等式不能推出（2）根据极限保号性, 由由平均值不等式有
由（1）的结论可得
再由迫敛性得
如果
则
且
例如
可得
如果
但那么
不收敛.
. 又因为
所以对上面的
则
所以对于任意的
证明:
（又问由此等式能否反过来推出
存在正整数
, 当
时, 有
）;
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因此,
由迫敛性得
. 综上所述, 有
, 使
【答案】记
, 则过三点
的抛物线为
令而
又
由 3．
设
立即可得出结论. 定义在闭矩形域
固定的
上, 若f 对
y
在
上处处连续,
对X 在（a , b]上（且
当
,
且
的任何y , 只要
, 则F （a ）=F（c ）=f（6）=0, 故存在
使
2
．
设f （
x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内二阶可导, 证明:
关于y ）为一致连续, 证明f 在S 上处处连续.
【答案】设
时, 有
且
现取
便有
只要
f
时, 总有
因此, f 在
S 上连续
.
4．
设
为递减正项数列
, 证明:级数
的部分和为
与级数
同时收敛或同时发散. 的部分和为
因为
为递减的正项数列, 故
为y 的连续函数
, 故对
也存在
对满足
又由于对
x 关于y 为一致连续. 故对上述
【答案】设级数
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故若:又有
收敛
, 则也收敛；若发散, 则也发散.
故若同. 5． 设
收敛
, 则也收敛
；若发散
, 则也发散. 由上可知两级数的敛散性相
与在xy 平面上的点集E 上一致连续. 与把点集E 映射为uv 平面上的
,
在E 上一致连续.
使得对
一切
, 因为f （u , v ）在D 上一致连续,
所以
, .
, , 只要
, 有
, 时有
在E 上一致连续.
就有. 从而
.
, 对
一切
,
,
, 对一切
在E 上一致连续, 于是对上
述的
,
点集D , f （u , v ）在D 上一致连续. 证明复合函数
【答
案】
, 只要又其中当
, --
故复合函数
二、解答题
6． 求下列函数的导数:
（1）（2）
【答案】（1
）
求, 求
和和
.
（2
）
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