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一、证明题

1． 设正项级数

【答案】

收敛. 证明:级数收敛, 则

令

则

, 级数

的部分和为

从而级数

2． 举例说明

:

【答案】例如且 3． 设

收敛

，

证明

：

的前n 项和S n . 则

对上式两边取极限，从而

即

, 使得

【答案】设

则

, 于是有

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也收敛, 其中.

收敛. 收敛且f 在

,

令

上连续, 但

得

不存在

.

上连续时, 不一定有

收敛,

在

【答案】记级数

4． 证明:若在[a, b]上f 为连续函数, g 为连续可微的单调函数, 则存在

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由假设gU

）为单调函数,

故

使得

不变号,

从而根据推广的积分第一中值定理, 存在

二、计算题

5． 设f 为连续可微函数. 试求

【答案】

由于

6．

若x=1, 而

【答案】

,

当当

时, 时,

.

上的有界k

次齐次函数（k ≥1）， 是否存在? 若存在，试求其值.

由于f （x , y ）是区域上的有界k 次齐次函数，

8． 试分别举出符合下列要求的函数f :

（1）

（2）

不存在.

, 所以

, 问对于

,

与dy 之差分别是多少?

,

并用此结果求

7． 设f （x ,

y

）是区域

问极限【答案】令

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【答案】（1）令（2）令

9． 计算第二型曲线积分

, 则

则:不存在

.

而于是

（

1）

L :（2）L :所以

（2）

10．对积分

（2）（3）

进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分:

所确定的区域;

（见图）.

（1）当D 为由不等式

沿逆时针方向;

的边界, 沿逆时针方向.

,

【答案】（1）L 的参数方程为

图

【答案】 （1）

（2）

（3）

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