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一、证明题

1．

设级数

与级数\

都发散，

试问

与

两级数均发散，但又如，（2）当

与

，即

，两级数均发散，且均非负时，则

收敛.

发散.

一定发散. 这是因为:由

而由

与

非负有

由柯西准则知

发散.

2． 用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设有界无限点集中每一点均不是S 的聚点, 则

, 则H 为

有限个邻域

由于

为有限点集

, 使得

所以由上式知S 为有限点集, 与假设矛盾. 故S

在[-M, M]中至少有一个聚点. 3． 设f 在[a, b]上有界

,

则f （x ）在[a, b]上可积 【答案】设在N ,

当n>N时,

,

上可积, 因此, 存在

, 从而f （x ）在

上的分割T%使

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一定发散吗？又若与都发散时

，

都是

非负数，则能得出什么结论？

【答案】（1）

当

不一定发散.

如

发散知存在

吋任意自然数N ，总存在自然数m （m>N）和p 使

. 显然若S 有聚点, 则必含于

, 使得

中. 假设

为有限点集. 记

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知, 存在H 中

. 证明:若f （x ）在[a, b]上只有

在

上的振幅为,

, 取

因

为其间断点,

, 所以存

上至多只有有限个间断点, 由定理知f （x

）在

把与合并, 就构成[a, b]的一个分割T , 则

（这时为f （x

）在上的振幅）. 故由可积准则知, f （x ）在[a, b]上可积.

有n+1个相异的实根, 则方程

, 并且

至少有n 个相异实根. 上应用罗尔中值定理知, , 即

至少有n －1个相异实根. 如此继至少有一个实根.

在D 上一定可取得

处

至少有一个

4． 证明:设f 为n 阶可导函数, 若方程实根.

【答案】设方程对f （x ）在区间存在再对存在续下去可得, 5． 设

证明:【答案】因

即可.

设即所以故

而

不可能在D 内部取得极值,

使得

在n －1个区间

使得

的n+1个相异的实根为

, 即

上应用罗尔中值定理知,

至少有n －2个相异实根,

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数, 有

的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续, 故由连续函数的最值性知

在D 的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点

. 对D 内任何点（x , y ）, 由于故

的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

最大值和最小值, 下证

二、解答题

6． （1）计算积分

（2）设z=f （x , y）在闭正方形

,

证明存在

, 使得

;

上连续, 且满足下列条件:

.

, 这里A 是（1）中的积分值.

【答案】（1）如图所示:

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图

（2）证明:由所以

由积分中值定理知, 存在

, 使

故

7． 讨论反常积分

【答案】当故当所以

时, 对一切发散, 从而

时, 对一切

收敛, 又

有

存在, 故

的敛散性.

有发散.

而收敛.

收敛,

而

发散,

,

知,

,

8． 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积:

（1）（2）（3）（4）【答案】 （1）（2）（3）

.

为心形线方程, 它在极轴之上部分的参数方程式为

, 绕极轴;

, 绕y 轴. ,

, 绕X 轴;

绕x 轴;

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