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一、证明题

1． 设f （x ）在[a, b]上连续. 证明函数扩大而不减, 因而M （x ）是单调递增函数.

对当一方面, 即从而即

'

再证M （x ）在点当又当由此可知当所以当故 2． 设

【答案】因使得当令

收敛, 且在

且

在

上一致连续, 证明

时,

有

时, 有时, 有

.

连续. 由

的任意性知M （x ）在[a, b]上连续.

综上所述, M （x ）在点

右连续.

,

. 又MU ）是单调递增的,

时, 有（否则, 若

, 左连续）. 于是当

. , 先证M （x ）在点时有

左连续. 对于是当

另一方面, 设f （x ）在

则当时有

, 因为f （X ）在点

时, 有

上的最大值点为

时有

连续, 所以

. ,

, ,

在[a, b]上连续.

【答案】由闭区间上连续函数的有界性知M （x ）在[a, b]上处处有定义, 又上确界随取值区间

上一致连续, 故对于

时, 有

则由积分第一中值定理得,

使得

因也即取

收敛, 故级数故对上述的则当

收敛,

从而存在

使得当

即

时,

.

时, 因

故存在惟一的, 使得. 易见, 且

从而

3． 设函数f 在区间I 上连续, 证明:

（1）若对任何有理数

有f

（r

） =0, 则在I 上f （x ） =0

;

有.

又因为

则f 在I 上严格增.

使. 当并且）, 和

,

所以

（2）若对任意两个有理数

由f 的连续性得

（

2）设有两个实数

由使得当

而当

,

满足可知,

时,

时,

【答案】（1）设x 0为中的任一无理数,

由有理数的稠密性知, 存在有理数列为有理数时, f （r ）也为0, 于是, 在I 上

f （x

）=0.

, 由有理数的稠密性知

, 存在有理数r 1, r 2使得,

两点连续. ,

存在

, 从而, 从而

. 再由

故f 在I 上严格递增.

4． 证明:

当

时一致收敛.

对

而

关于x 单调递减, 且

因为f

（x ）在

I 上连续,

所以f （

x

）在

.

对于正数

（设；

.

存在有理数

知,

【答案】方法一

有

所以当

时,

一致收敛于0.

由狄利克雷判别法知

当

方法二对

时一致收敛

作变换

即

, 则

由狄利克雷判别法知该积分收敛, 从而对递减且一致有界, 即

由阿贝尔判别法知, 当

5． 证明:反常积分

【答案】因为

在

上一致收敛.

所以有

又因为

收敛, 根据魏尔斯特拉斯判别法可知, 反常积分

6． 证明

, 其中 *

【答案】令x=au, y=bv, z=cw, 则

所以

在

上一致收敛

.

时

一致收敛. 该积分一致收敛, 又

关于x 单调

二、解答题

7． 求证:

黎曼函数

（1

）在x>1上连续; （2

）在x>1上连续可微. 【答案】（1）

, 使得

又

, 从而

在

上一致收敛. 进一步由连续性定理, 可知函数

具有如下性质:

在上