2018年上海财经大学数学学院601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 给定曲面
（a , b , c 为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y ）. 证明:
（1）曲面的切平面通过一个定点; （2） 函数z=z（x , y ）满足方程【答案】（1）因
及
与
不能同时为零, 得出
化简得
把它与过（a , b, c）点的切平面方程比较, 即知曲面z=z（x , y ）的切平面过定点（a , b , c ）. （2）对上式再求偏导数, 得
化简得
当
由函连续可微性, 知
2． 证明:若f 在点x 0连续, 则必连续？
【答案】因为f （x ）在点x 0连续, 所以对任给
的时,
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.
时, 即可看出成立.
对x=a或y=b时也成立.
与也在点x 0连续. 又问:若或在Ⅰ上连续, 那么f 在Ⅰ上是否
存
在
, 使得
当
（1）由不等式故（2）由（3）当
. 即
知, 由在点x 0连续.
时,
, 而|f|在x 0连续, 故
在点x 0连续.
, 则
与
为
或在I 上连续时, f 在I 上不一定连续. 例如,
常值函数, 在R 上处处连续, 但f （x ）在R 上处处不连续.
3． 设f （x ）在其中C 为一常数, 试证:
【答案】
在
若由于当故当所以
根据柯西准则,
此即表明
4． 用定义证明:（1）若
（2）若
, 则, 则
|.
【答案】（1）由固定,
当
时, 有
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上连续可微, 并且
上连续,
上一致连续, 从而则存在
在
对任给
上一致连续, 对于且时, 有
时, 有在存在
存在
如果（当, 时）
在
上也一致连续. 使得
发散, 这与已知条件矛盾, 所以假设不成立,
即应有
;
知
, , 当
时, 有
其中
, 上述
, 当
时, 有
从而
,
对固定的而言, 它是一个确定的常数. 故对
（2）令
, 则当
时,
于是
由（1）知, 上式的第二、三项趋向于零. 下证第四项极限也是零. 事实上, 由
知,
有界, 即存在M0, 使
故
从而（2）的极限是ab.
二、解答题
5． 求抛物体, 匀棒的重心. 所以
求转动惯量时, 把抛物体看成由曲线
绕z 轴旋转而得, 如图所示:
的重心和绕z 轴的转动惯量（已知抛物体的密度为1）.
看成求质量不均
【答案】取自变量微元[z, z+dz], 把相应的体积微元的质量
:
图
取自变量微元[x, x+dx], 则相应的面积微元为轴旋转而得的体积微元的质量为
, 它是如图中的区域A , 把区域A 绕Z
从而转动惯量微元为
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