2018年四川师范大学850数学专业综合[专业硕士]之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、综合题
1． 设f 在
（c 为常数）. 【答案】由题意可知, 故故
2． 方程
其中
为常数.
在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数y=f（x ）?
知
所以
且
令令
D 每一邻域内都连续. （x ）.
3． 验证
【答案】因为
所以
而当x=0时, 有
即
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上有任何阶导数, 记, 且在任何有限区间内
, ,
试证
在任何有限区间内连续, 且
由
积分可得
,
【答案】先求定义域. 由
有
且
故方程
由
知
即
在
, 则F ）（x , y ）在D 内每一邻域内有定义且连续；
可在D 上惟一确定隐函数y=f
是|x|在上的一个原函数.
因而即
. 是在R 上的一个原函数.
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4． 讨论
【答案】①连续性:
在（0, 0）点的连续性和可微性.
从而连续
. ②可微性:
显然不连续；同样
5． 从等式
出发, 计算积分
【答案】
因为
所以
6． 求出函数
在
内连续
, 而且由
M 判别法知
在（1, 1）点邻域带皮亚诺余项的泰勒公式.
在[a, b]内一致收敛,
不连续. 故不可微.
【答案】利用一元函数的泰勒公式, 有
其中
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.
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二、证明题
7． 证明sinx
在
【答案】对于任意的
上一致连续.
有
对任给的sinx
在
8． 证明函数
在区间
上不一致连续, 但是对于任意
在
上一致连续.
,
取
, 则对一切
,
当
时,
有
, 故
上一致连续
.
【答案】（1）方法一取从而
在区间
则存在
上不一致连续.
取但是存在从而
时,
在区间当
则
方法二 取虽然满足使得（2）当
上不一致连续. 时, 有
取即 9． 设
在
时, 有
上一致连续.
收敛. 证明:收敛（a n >0）.
, 由积分判别法知级数收敛, 由比较判别法知
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【答案】因为又
收敛, 所以
收敛, 收敛.