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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,

记

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由已知，有

于是

2． 设线性方程组

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】设

与

的解空间分别为

则

所以

即证

3． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

中选三个向量组

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则（ ）.

的解都是线性方程组

的解, 则（ ）.

若选

故选B.

4． 齐次线性方程组

，从而否定A , 若选, ，从而否定C ,

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当

时，

由

，用

使

则（ ）.

右乘两边，可得

由

左乘

这与可得

矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，

故选C.

5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.

记

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题设知，所以

则A=（ ）.

二、分析计算题

6． 由行列式定义计算

中故

与

的系数，并说明理由.

的展开式中的4次项只有一项：

的3

次项也只有一项

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【答案】

的系数为

故的系数为 7． 设

（2）若

由

则若

是线性空间V （不必是有限维）上的线性函数, 证明:

的核

任一向量X 可以唯一表示为

令

于是

故

从而

即S 是V 的极大子空间.

是V 的极大子空间.

下证

（1）函数

【答案】（1）显然S 是V 的子空间, 若T 是真包含S 的子空间, 则

（2）由前面的证明知分解的存在性成立, 且

则

8． 求结式：

由代入上式立得唯一性得证.

【答案】

（2）

从第二列开始，把第一列的2倍加到第二列，再把所得行列式的第二列的2倍加到第三列，… 一直作到最后一列，得到

把最后一行的倍加到倒数第二行上，得到

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