2017年暨南大学信息科学技术学院709数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设集
证明:复合函数【答案】设点存在又且
其中
使对一切
在xy 平面中的点集E 上一致连续
在D 上一致连续，
在E 上一致连续. 为D 上任意两个点. 由于只要
在E 上一致连续，因此，对上述的时，有
因此
故复合函数
2． 证明：函数
【答案】因为
只要
在上一致连续，所以
，就有
从而
用反证法. 函数
在上不一致连续可表述为：
尽管
应地存
在 3． 已知
求证
时，
，则要证的不等式等价于
令
则
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把点集E 映射为平面中的点
在D 上一致连续，
从而对任给的就有
存在
使当
在E 上一致连续.
在区间上一致连续的充要条件是： 只要
就有
对上述
由
此即为
但
显然
，
取
可知
相但
满
足
矛盾.
【答案】当
而
故
从而有
4． 设角是常数).
【答案】
故
5． 设函数
【答案】令
证明则
故 6． 设f 在明：
存在一点
使得
【答案】由连续函数的最大、最小值定理知为m , 最大值为M. 于是
由
和在
上有最小值和最大值. 设其最小值
得
由介值性定理知，存在
使得
上连续
另有一组正数
满足
证
可微，证明：在坐标旋转变换
则必有
之下
是一(其中旋转
个形式不变量，即若
二、解答题
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7． 求. 设
其中，为可微函数；
其中，为可微函数.
【答案】(1) 本题有错误. 应改为
令
则
且收敛. 则
(2) 令
则
所以(3)
于是
8． 求下列周期函数的傅里叶级数展开式：
【答案】(1) f (x ) 是周期为的周期函数
如图所示
.
图
因f (x ) 按段光滑，故可以展为傅里叶级数，又f (x ) 为偶函数，故
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