2017年暨南大学信息科学技术学院709数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明：
【答案】(1)
(2) 用数学归纳法证明. 由(1) 知，当n=l时，命题成立. 假设当n=k时，命题成立，则当n=k+l时，
即当
2． 设
在
时，命题也成立. 于是(2) 的结论得证. 上二阶连续可导，证明：
【答案】记
取
由微分中值定理，有
即
于是
有
对上式两边，分别关于
和
S
和
上积分，可得
即
进而有
这就是所谓的内插不等式.
3． 设
(1) (3)
【答案】(1) 因
为
时，
有
当
同时有
故
(2)
对于任给的
时
，时，
存在
，
使得当则当
时
，
及
故
(3)
对于任给的
时
，时，有
取
，
存在
因
为
•，
使得当
，则当
时
，
时有
证明 (2)
所以对于任给
的
时，有
. 取
成立，
因而
存
在，则当
使得
当
时，
，
当使得当
再由函数极限的局部有界性知，
存在
时，有
当使得
当
由局部保号性知，存
在
故
4． 设
在点
的某邻域内存在且在点
可微，则有
【答案】应用中值定理有
由
在
处可微知
所以
. 同理由在
处可微得
从而
5． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
局部保号性：若函数作在点
内
与【答案】设续，所以存在
从而当当得在其上
即
6． 设
在
可见/在
上与
同号且
令
证明：
收敛.
有
连续，而且
则函数
在点
的某一邻域使得对任
意
因为
时
住取
由上可知存在
使
在点
处连
同号，并存在某个正
数
则存在r , 使
取使得当
时，有
上有连续二阶导数，且
【答案】由题设，对