2017年江南大学理学院711数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明
并说明其中等号何时成立.
【答案】由于
因此
2． 证明：数.
【答案】
由
的凸性知
所有
即
.
故 3． 证明
:
任意正数.
【答案】由于
有
当
积分在
若该积分在
时，关于单调递减，且当内一致收敛，则对
时一致收敛于0, 由狄利克雷判别法知该使得
因为
另一方面，
由于
所以
则
当当
时有
时有
于是当
时，若
有
在
上一致收敛；在
内不一致收敛，其中
与为
为上的凸函数.
为
上的凸函数
.
因为函数.
为
上的凸函数，所以
当且仅当
为区间
上凸函数
即
时，原不等式中的等号成立. 函数
为
上的凸函
上一致收敛.
，则
因而取则
矛盾，故原积分在内不一致收敛。
为f 的极小值点，则为，在Ⅰ上惟一的极小值点。
不妨设
由是I 上的严格凸函
4． 设为区间，上严格凸函数. 证明：若数知，对任意
总有
【答案】反证法. 若有异于的另一极小值点
因此，对于任意的
只要充分接近0, 总有但是这
与是的极小值点矛盾. 故
是在I 上的惟一极小值点。
5． 已知f (x ) 在[0，1]上二阶连续可导，证明：
【答案】因为f (x ) 连续，所以
可被取到，不妨设
由拉格朗日中值定理得
又因为
所以
即
二、解答题
6． 根据图写出定义在上的分段函数和）的解析表示式
.
图
【答案】由直线的点斜式方程容易得到：
7． 应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：
⑴(3)
时，
(2) 因
故
从而级数收敛.
(3) 注意到数列
单调递减且
故只需考察级数
的部分和数列
即
有界. 又
时，数列
单调递减且
由狄利克雷判别法知原
则
故f (x ) 单调且有界，因此数列
从而级数
又
故
关于n 单调有界. 又级数
时
，
【答案】(1)
记
收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛.
的部分和数列
(2)
；