2017年江南大学理学院711数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在
(c 为常数). 【答案】由题意可知，故
其中
2． 设函数
在为常数.
|上连续，在
内可微，又
不是线性函数. 证明：
【答案】过点
显然
，
不妨设
则有
由拉格朗日中值定理，
使
当当
于是，总存在
时，有时，有
使
3． 证明：(1) 两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；
(2) 两个偶函数之和与积都为偶函数； (3) 奇函数与偶函数之积为奇函数.
【答案】(1) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个奇函数，令
则
所以f (x ) +g(x ) 是D 上的奇函数，f (x ) g (x ) 是D 上的偶函数.
上有任何阶导数，
记且在任何有限区间内
，
试证
在任何有限区间内连续，且
由
积分可得
故
使
与的直线方程为
由
于
不是线性函数，故存在
点
，
使
(2) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个偶函数，
则
所以f (X ) +g(X ) 和f (X ) g (X ) 都为偶函数.
(3) 设f (x ) 为D 上的奇函数，g (x ) 为D 上的偶函数，
所以f (x ) g (x ) 为奇函数.
4． 设
在
上三阶可导，证明：存在实数使得
【答案】若存在一点立. 因此，不妨设
不失一般性，假设则
而且当
进而，
不失一般性还可假设
则
有
于是，在
的假设下证明本题的结论.
由泰勒公式，
有
其中在X 与a 之问. 由此可知，存在再由泰勒公式，有
其中在x 与
则
5． 设为
之间. 由此可知，存在
上以p 为周期的连续周期函数，证明对任何实数a , 恒有
【答案】
令
故有
则
从
而
(常数) ，
令
得
当
时
若取
当
而且当
使使得.
这是因为，若.
考虑
时，
. 这是因为，若
.
，使得
则必有考虑
时，必
中有一个为零，则结论显然成
则
二、解答题
6． 设求
【答案】方法一：由配方得到
其中原式
方法二：因为被积函数的定义域为
所以可设
又注意到
故有
7． 设
所有二阶偏导数都连续
，
求
从而
作变量代换
则有
【答案】由题意知
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