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一、证明题

1． 设正项级数

收敛，和为. 令

求证：当

时，

【答案】把区

间

及函数

用分

点的单调递减性，得

这意味着级数

2． 设

是凸域，

的部分和有界，从而此级数收敛，且

且满足

证明：f (x ) 的海色矩阵【答案】由泰勒公式得：

根据条件

故有

上式消去并令这表明矩阵

3． 设

【答案】设

即得

是半正定的. 由于任意性，所以海森矩阵在上是半正定的. 并且对于任何

则有

对上式两边同时求导，得

即

于是对两边取转置又得

有

常数，证明

是半正定的.

为任一向量，当t 充分小时，点，

分成无限个小区间.

在

上，

由

4． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.

局部保号性：

若函数作在点

连续，而且

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则函数在点的某一邻域

内

与【答案】设续，所以存在

从而当当

得在其上

同号，并存在某个正

数

则存在r , 使取使得当

时

住取

时，有

使得对任

意

因为

在点

处连

由上可知存在使

即

5． 设

当当即

求证

可见/在上与在区间在

同号且上一致连续. 上显然一致连续.

【答案】当时

时，结果显然成立.

时，利用一个显然成立的不等式：

可导出

有

因此

时，有

设令则

取于是当

因此

在上一致连续.

有n+1个相异的实根，则方程

并且

使得

.

上应用罗尔中值定

即.

至少有n-1个相异实根. 如此继至少有一个实根.

至少有对f (x ) 在

6． 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程. 一个实根.

【答案】设方程. 区间

的n+1个相异的实根为上应用罗尔中值定理知，

存在

即至少有n 个相异实根. 再对

使得

在n-1个区间

理知，存在续下去可得

至少有n-2个相异实根

二、解答题

7． 求下列不定积分：

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【答案】

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