2017年暨南大学信息科学技术学院709数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 应用詹森不等式证明：
⑴设
有
(2) 设
【答案】(1)
设
有则
其中由
可知
为区间
上严格凸函数. 根据詹森不等式有
即
因而
把这个不等式中的n 个正数换成
于是原不等式得证。 (2) 设代入
得
于是
令
得
不等式两端同时乘以
再对
时的不等式两端分别相加，得
2． 设
【答案】因为f 为有
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则得到
由(1) 知为凸函数，令
证明
使得当
时.
时的无穷大量，所以对任意的M>0, 存在
又因为
取
故 3． 设
为
不妨设b>0, 则由函数极限的局部保号性知
.
则当
时，
在内
，
上的连续递增函数，则
即可.
使
.
【答案】只要证明由于
单调递增，利用积分第二中值定理，则存在
4． 证明：函数
在点(0, 0) 连续且偏导数存在，但在此点不可微. 【答案】因为
从而
所以
在点(0, 0) 连续.
由偏导数定义知
同理但当
时，其值为0. 所以
所以，f (x ，y ) 在点(0, 0) 的偏导数存在.
考察不存在，故
由于当
时，
其值为
在点(0, 0) 不可微.
5． 设f (x ) 是区间
使得
(1) (2)
恰好是
【答案】因为
上的一个非常数的连续函数，M ，m 分别是最大、最小值，求证：
存在
在是若对任
意
上的最大、最小值(最小、最大值) . 上一个非常数的连续函数，所以
有
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设使
则结论成立. 否则，即存在点
或
当当
时，取时，取
且
重复上述过程：若对任意
或有
或者存在
此时，因为假如
即所以
由于矛盾.
并且
有
且
递増有上界
且
这样再重复上述过程，得到
则有则有
有时，
取
使
使
递减有下界，所以存在
是连续函数，可以推出
是
在
上的最小值
是
在上
使
此时结论成立.
则结论成立. 否则，即存在点
有
且当
有
时，
取
使得
使得
即总存在
的最大值.
6． 设函数f 在
【答案】设由于是
得
上满足方程令
且
则
证明,
，由归结原则得
同理，由也可推出
因此，
二、解答题
7． 确定常数
【答案】
于是
欲使
为三阶无穷小量，必须有
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使当时
，为x 的3阶无穷小.