● 摘要
本文研究的内容分别涉及到非负矩阵和算子方程的有关内容.
非负矩阵理论产生于20世纪初，随着这一理论的迅速发展, 现在已成为现
代数学中的一个重要分支. 它与物理学,线性系统, 经济学和概率统计
甚至社会科学以及其他一些数学分支都有着密切联系.
近年来,国内外诸多学者对非负矩阵理论深入研究和推广,并不断提出与非负
矩阵相关的诸多新的研究方向. 例如,完全正矩阵, 完全负矩阵,余正矩阵等概
念先后被引入,目前这些有关非负矩阵的课题得到了相当广泛的研究.
算子方程历来是数学研究中较活跃的分支之一.对于算子方程,人们较多关注的是
算子方程的求解问题以及方程解的性质等.这些对于解决实际问题有很重要的意义.
本文共分四章,具体内容如下:
第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号,
定义和以后各章要用到的一些定理等.
第一节介绍了不可约非负矩阵, 置换矩阵,外围谱, 谱子集
及有界线性算子等概念. 第二节主要给出一些熟知的定理. 如著名的Perron-Frobenious定理等.
第二章首先给出了具有Perron-Frobenious性质的矩阵的刻画,即:若$Ain mathbb{R}^{n imes n},$
则下列性质等价.
(i) $A$和$A^{T}$具有强的 Perron-Frobenius
性质;
(ii) $A$ 是最终正的;
(iii) $A^{T}$ 是最终正的.其次,讨论了上述矩阵中类似于不可约非负矩阵的一些性质.
最后讨论了具有Perron-Frobenious性质的矩阵的扰动问题.
第三章首先对完全正矩阵进行了讨论,得到双非负矩阵是完全正矩阵的一个充要条件,
即:设$A=(a_{ij})in DNN_{n},$如果$A=T^{T}T$, 那么
$Ain CP_{n}$当且仅当存在$m$个非零向量
$x_{1},cdots,x_{m}in S_{T}^{*}$使得下式成立:
$x_{1}x_{1}^{T}+x_{2}x_{2}^{T}+cdots +x_{m}x_{m}^{T}=I_{k},$其中,
$T$是$k imes n$($k=rank(A)$)实矩阵.其次,给出一定条件下,$A=A^{n}$的充要条件,
其中$A$是可约非负矩阵.即:若$Ageq 0$是可约的且$r(A)=1,$则
$A-A^{n}= 0$当且仅当存在一个置换矩阵$P$
使得下式成立:$$PAP^{T}=left(
egin{array}{ccccc}
A_{11} & 0 & cdots & 0 \ 0 & A_{22}& cdots & 0 \vdots
&vdots & ddots & \0 & 0 & cdots & A_{rr}\
end{array}
ight).$$ 其中,对所有的$ 1leq ileq r,$ $A_{ii}$是
不可约的且满足$A_{ii}^{n}=A_{ii}.$
第四章研究了无穷维Hilbert
空间上算子方程$XA-AX=X^{p}$
($1leq
p