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一、证明题

1． 设分布函数列

【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在

因此有

由

的任意性知

结论得证.

2． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.

【答案】因为令

则

的逆变换为

, 所以

此变换的雅可比行列式为

所以（U , V ）的联合密度函数为

由此得U=XY的边际密度函数为

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弱收敛于分布函数且

和都是连续、严格单调函数,

又设

关于x 是一致的,

服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:

对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有

使有时, 任对

, 有

使当

存在充分大的M , 使有

对取定的h , 因为

这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.

3． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即

时, 有

当, 结论得证.

, 且X 与Y

的特征函数, 由唯一性定理知为已知值，均值只能取或

若检验拒绝域取

为

（1）试验证：（3）当

【答案】（1）由于

从而在并且要求

则检验犯第二类错误的概率

为给定时，有

两值之一，为总体的容量n 的

时, 有

令

4． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记这正是二项分布

5． 设正态总体的方差

因为

所以由X 与Y 的独立性得

样本均值. 考虑如下柃验问题

（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？

时，样本容量n 至少应为多少？

故检验犯第二类错误的概率为

这给出

也即

从而在

（2）若n 固定，当减小时，而导致增大.

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给定时，有

就变大，由为常量可知就变小，从

同理可知：当减小时增大.

这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.

（3）由

查表可得

于是

将

代入，有

即n 至少应为468.

6． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为

证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为

则

与的联合分布为

所以，

即成功概率p 的后验分布为分布族. 7． 设

是来自泊松分布

的样本, 证明

是充分统计量.

有

故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔

【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的

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