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一、证明题

1． 设随机变量

【答案】因为

所以 2． 设

是来自正态分布

的样本, 证明,

在给定

是充分统计量. 的条件密度函数为

由此得

中任意两个的相关系数都是p , 试证:

【答案】由条件,

它与

无关, 从而

是充分统计量.

3． 设为一事件域，

若

试证： （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算

【答案】（1）因为为一事件域，所以

其中

所以所以所以

由

由

故其对立事件

（2）构造一个事件序列

由此得（3）因为（4）因为（5）因为

得得

由（3）（有限交）得

4． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

5． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明

：

【答案】

6． 设二维随机变量

服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为

是来自该总体的样本, 证明:

二维统计量

该二元正态分布族的充分统计量.

【答案】该二元正态分布的密度函数为

此处,

故

是

从而

注意到

上式可化解为

于是样本的联合密度函数为

由因子分解定理知, 结论成立.

7． 设数为

是来自均匀分布

其中

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则