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一、证明题

1． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为 2 来自正态总体．对称, 且

【答案】记正态分布的样本中位数

的密度函数为

令

此变换的雅可比行列式的绝对值

于是y 的密度函数为

其中可得

这表明密度函数

是偶函数, 从而

g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有

与E

3． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：

【答案】

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所以由单调性知从而得

又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

的容量为

f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（

的样本中位数是

证明

的密度函数关于

与

分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

4． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?

【答案】设共投掷n 次，记事件则

由

得

两边取对数解得

所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点

为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.

数为6的概率大于1/2.

5． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.

【答案】因为令

则

的逆变换为

, 所以

此变换的雅可比行列式为

所以（U , V ）的联合密度函数为

由此得U=XY的边际密度函数为

这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.

6． 证明下列事件的运算公式：

（1）

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（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

7． 设明:统计量

（1）若函数

也存在. 于是其中（2）若（0,

, 当

所以

是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证

服从

这是因为F （x ）的反

当

则

时,

时, 有

分布函数, 即

（2）. 相互独立, 由（1）

所以

仅在

（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故

【答案】分几步进行:

且F （x ）为连续严增函数, 则

的分布函数为

）上取值, 所以当

这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知

8． 记

的相互独立性可导致

证明

【答案】

由

得

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