2017年上海财经大学统计与管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设总体为韦布尔分布
其密度函数为
现从中得到样本
证明
仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.
为
因而最小次序统计量这说明.
的分布函数为
利用此结果计
2． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算
【答案】
由此得
3． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
4． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.
【答案】因为
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【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数
证明
则
也服从
从而
所以A-B 与C 独立. 5． 设变量序列
为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.
则
由此得
倘若
服从大数定律, 则对任意的
有
于是, 当n 充分大时, 有
记
则
由的任意性,
不妨取
咱矛盾, 所以
则当n 充分大时,
有不服从大数定律.
,
这与前面推出的
, 由此得
, 试证:随机
【答案】
6． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
7． 设X 为非负连续随机变量，若
（1）（2）
存在，试证明：
即A ，B 相容.
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利
用
得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以
也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
则
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8． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
（1）（2）（3）且从（1）在
则
所以
（2）
（3）
，
【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）
二、计算题
9． 甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q=l-p.比赛进行到有一人连胜两局为止，求平均比赛局数.
【答案】设X 为决定胜负所需的局数，X 可取2，3，…等正整数值，事件k-1局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，所以
利用（1）
（2）
公式，可得
又因为对任意的
总有
故由E （X ）是pq 的严增函数可得
这表明：这种象棋比赛决定最终胜负的平均局数不超过3局，它在两选手势均力敌（p=l/2）时达到上界.
10．设
【答案】
的联合密度函数为：
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表示到第
求a 和的UMVUE.