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一、证明题

1 设分别自总体．

试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.

【答案】由已知条件有

且

独立. 于是

故

这证明了又

是的无偏估计.

从而

因而当

时，V ar （Z ）达到最小，此时

这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是的线性无偏估计类

2． 试证：对任意的常数

有

【答案】

于所以由此得

3． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为

试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关

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中抽取容量为，的两独立样本其样本方差分别为

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）

该无偏估计为

的样

中方差最小的.

由

【答案】先求边际密度函数

所以由又因为

和

知X 与Y 不独立.

在对称区间上是偶函数, 故

从而

所以X 与Y 不相关.

4． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与-X 有相同的特征函数,

从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.

再证必要性, 若由于-X 的特征函数为

5． 设随机变量序列证:

【答案】己知则

对任意的

由切比雪夫不等式得

即

, 结论得证.

, 且X 与Y

的特征函数, 由唯一性定理知

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先证充分性. 若是实的偶函数, 则又因

所以得, 即

, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数, 所以

故

是实的偶函数.

试

独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且

6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记这正是二项分布

因为

所以由X 与Y 的独立性得

7． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.

【答案】泊松分布的概率函数为数为

对来自泊松分布

的样本

的后验分布为

若的先验分布为伽玛分布，其密度函

即的后验分布为

共轭先验分布.

8． 设为独立随机变量序列, 且

证明:

服从大数定律.

相互独立, 且

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

所以

【答案】因为

仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的

二、计算题

9． 若随机变量

【答案】方程由此得知

的先验分布是均匀分布U （10，16）. 现有三个观测值

：

i=l，2，3，10＜θ＜16，即

时，

的

而方程

无实根的概率为0.5，试求

10．设总体为均匀分布

求θ的后验分布.

【答案】当联合分布为

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无实根等价于16-4K<0，所以由题意知