2017年江西师范大学数学与信息科学学院823高等数学[专业硕士]考研强化模拟题
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一、计算题
1． 求由抛物线
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
，设过焦点的直线为y=k（x-a ），则该直线与抛物线的交点的【答案】抛物线的焦点为（a , 0）纵坐标为
，
，面积为
故面积是志的单调减少函数，因此其最小值在
2． a=3i-j-2k，b=i＋2j-k ，求
⑴a ·b 及a ×b ； ⑵（﹣2a ）·3b 及a ×2b ； ⑶a ，b 的夹角的余弦.
【答案】 ⑴a ·b=（3，﹣1，﹣2）（1, 2，﹣1） ·=3×1＋（﹣1）×2＋（﹣2）×（﹣1）
=3
⑵（﹣2a ）·3b=﹣6（a ·b ）=﹣6×3=﹣18 a ×2b=2（a ×b ）=2（5, 1, 7）=（10, 2, 14） ⑶
3． 求位于曲线
由于该切线过原点，因此有如图所示所求面积为
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，即弦为x=a时取到，最小值为。
下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形面积。
x0x0
【答案】先求曲线过原点的切线方程，设切点为（，y 0）, 其中y 0=e，
则切线方程为
，解得x 0=1，y 0=e, 即切线方程为
图
4． 求下列函数在给定点处的导数：
（1）（2）（3）【答案】（1）
，求，求
和。
；
，求f ’（0）和f ’（2）。
（2）
（3）
5． 设函数f （x ）连续且横大于零，
其中
（1）讨论F （t ）在区间
内的单调性；
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（2）证明当t>0时，
【答案】（1）利用球面坐标，有
。
利用极坐标，有
于是
求导得
所以在区间
2
内，，故F （t ）在内单调增加。
（2）因为f （x ）为偶函数，故
所以
要证明t>0时，
，即证
只需证当t>0时
，
。由于
所以H （t ）在因此当t>0时，有
6． 求联系华氏温度（用F 表示）和摄氏温度（用C 表示）的转换公式，并求
（1） 90°F 的等价摄氏温度和-5°C 的等价华氏温度;
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，
且
内单调增加，又H （t ）在上连续，故当t>0时
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